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KaTeX Demostración Matemática

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KaTeX es una biblioteca JavaScript multiplataforma que permite visualizar notación matemática en navegadores web. Destaca por su velocidad y facilidad de uso, fue desarrollada inicialmente por Khan Academy y se convirtió en uno de los cinco proyectos más populares de GitHub.

Teoría de Grupos

El lema de Burnside, a veces también llamado teorema de conteo de Burnside, lema de Cauchy-Frobenius o teorema de conteo de órbitas.

Sea ∧\wedge una acción de grupo de un grupo finito GG sobre un conjunto finito XX. Entonces el número tt de órbitas de la acción viene dado por la fórmula.

t=1∣G∣∑g∈G∣Fix(g)∣t=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\text{Fix}(g)|

Para cada entero n≥2n\ge2, el grupo cociente Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} es un grupo cíclico generado por 1+nZ1+n\mathbb{Z} y por tanto Z/nZ≅Zn\color{red}{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n}.

El grupo cociente R/Z\mathbb{R}/\mathbb{Z} es isomorfo a ([0,1),+1)([0,1),+_1), el grupo de números reales en el intervalo [0,1)[0,1), bajo la adición módulo 1.

Teorema de Isomorfismo. Sea ϕ ⁣:(G,∘)→(H,∗)\phi\colon(G,\circ)\to(H,*) un homomorfismo. Entonces la función

f ⁣:G/Ker(ϕ)→Im(ϕ)xKer(ϕ)↦ϕ(x)\begin{aligned} f\colon G/\text{Ker}(\phi)&\to\text{Im}(\phi)\\ x\text{Ker}(\phi)&\mapsto\phi(x) \end{aligned}

es un isomorfismo, así que

G/Ker(ϕ)≅Im(ϕ)G/\text{Ker}(\phi)\cong \text{Im}(\phi)

Teorema de Taylor

Sea la función ff diferenciable (n+1)(n+1) veces en un intervalo abierto que contiene los puntos aa y xx. Entonces

f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+Rn(x)f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)

donde

Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x−a)n+1,R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},

para algún cc entre aa y xx.

KaTeX\KaTeX no tiene una opción de alineación a la derecha, por lo que se utiliza una columna alineada adicional para los números de ecuación. Estos son empujados a la derecha mediante el espaciado mkern, por defecto \mkern100mu. Se pueden utilizar tanto entornos align como align*, así como \tag y \notag.

Entorno Align

π4n2=4n(n!)22n2(2n)!n(2n−1)Jn−1−4n(n!)22n2(2n)!2n2Jn=4n4(2n)!(n!n)22n(2n−1)Jn−1−4n(n!)2(2n)!Jn=4n−1((n−1)!)2(2n−2)!Jn−1−4n(n!)2(2n)!Jn\begin{align} \frac{\pi}{4n^2} &= \frac{4^n(n!)^2}{2n^2(2n)!}n(2n-1)J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{2n^2(2n)!}2n^2J_n \tag{1} \\ &= \frac{4^n}{4(2n)!}\left(\frac{n!}{n}\right)^22n(2n-1)J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}J_n \tag{$\ddagger$} \\ &= \frac{4^{n-1}((n-1)!)^2}{(2n-2)!}J_{n-1}-\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}J_n \tag{2} \end{align}

Entorno Align*

4N(N!)2(2N)!JN≤4N(N!)2(2N)!π2412n+2I2N=π28(N+1)4N(N!)2(2N)!I2N=π28(N+1)π2=π316(N+1)xsin⁡x≤π2por lo tantox≤π2sin⁡x\begin{align} \frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}J_N &\leq \frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}\frac{\pi^2}{4}\frac{1}{2n+2}I_{2N} \tag{*} \\ &= \frac{\pi^2}{8(N+1)}\frac{4^N(N!)^2}{(2N)!}I_{2N} \\ &= \frac{\pi^2}{8(N+1)}\frac{\pi}{2} \tag{**} \\ &= \frac{\pi^3}{16(N+1)} \\ \frac{x}{\sin x} &\leq \frac{\pi}{2} \tag{3} \\ \text{por lo tanto} \qquad\qquad x &\leq \frac{\pi}{2}\sin x \tag{4} \end{align}

Suma de una Serie

∑i=1k+1i=(∑i=1ki)+(k+1)=k(k+1)2+k+1=k(k+1)+2(k+1)2=(k+1)(k+2)2=(k+1)((k+1)+1)2\begin{align*} \sum_{i=1}^{k+1}i &= \left(\sum_{i=1}^{k}i\right) +(k+1) \tag{1} \\ &= \frac{k(k+1)}{2}+k+1 \tag{2} \\ &= \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \tag{3} \\ &= \frac{(k+1)(k+2)}{2} \tag{4} \\ &= \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \tag{5} \end{align*}

Notación de Producto

1+q2(1−q)+q6(1−q)(1−q2)+⋯=∏j=0∞1(1−q5j+2)(1−q5j+3), para ∣q∣<1.1 + \frac{q^2}{(1-q)}+\frac{q^6}{(1-q)(1-q^2)}+\cdots = \prod_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{5j+2})(1-q^{5j+3})}, \text{ para }\lvert q\rvert < 1.

Producto Vectorial

V1×V2=∣ijk∂X∂u∂Y∂u0∂X∂v∂Y∂v0∣\mathbf{V}_1 \times \mathbf{V}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[1ex] \frac{\partial X}{\partial u} & \frac{\partial Y}{\partial u} & 0 \\[2.5ex] \frac{\partial X}{\partial v} & \frac{\partial Y}{\partial v} & 0 \end{vmatrix}

Ecuaciones de Maxwell

∇×B⃗− 1c ∂E⃗∂t=4πcj⃗∇⋅E⃗=4πρ∇×E⃗ + 1c ∂B⃗∂t=0⃗∇⋅B⃗=0\begin{align*} \nabla \times \vec{\mathbf{B}} -\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{E}}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\vec{\mathbf{j}} \\ \nabla \cdot \vec{\mathbf{E}} &= 4 \pi \rho \\ \nabla \times \vec{\mathbf{E}}\, +\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{B}}}{\partial t} &= \vec{\mathbf{0}} \\ \nabla \cdot \vec{\mathbf{B}} &= 0 \end{align*}

Letras Griegas

Γ Δ Θ Λ Ξ Π Σ Υ Φ Ψ Ωα β γ δ ϵ ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω ε ϑ ϖ ϱ ς φ\begin{align*} &\Gamma\ \Delta\ \Theta\ \Lambda\ \Xi\ \Pi\ \Sigma\ \Upsilon\ \Phi\ \Psi\ \Omega\\ &\alpha\ \beta\ \gamma\ \delta\ \epsilon\ \zeta\ \eta\ \theta\ \iota\ \kappa\ \lambda\ \mu\ \nu\ \xi\ \omicron\ \pi\ \rho\ \sigma\ \tau\ \upsilon\ \phi\ \chi\ \psi\ \omega\ \varepsilon\ \vartheta\ \varpi\ \varrho\ \varsigma\ \varphi \end{align*}

Flechas

← → ← → ↑ ⇑ ↓ ⇓ ↕ ⇕⇐ ⇒ ↔ ⇔ ↦ ↩↼ ↽ ⇌ ⟵ ⟸ ⟶⟹ ⟷ ⟺ ⟼ ↪ ⇀⇁ ⇝ ↗ ↘ ↙ ↖\begin{align*} &\gets\ \to\ \leftarrow\ \rightarrow\ \uparrow\ \Uparrow\ \downarrow\ \Downarrow\ \updownarrow\ \Updownarrow\\ &\Leftarrow\ \Rightarrow\ \leftrightarrow\ \Leftrightarrow\ \mapsto\ \hookleftarrow\\ &\leftharpoonup\ \leftharpoondown\ \rightleftharpoons\ \longleftarrow\ \Longleftarrow\ \longrightarrow\\ &\Longrightarrow\ \longleftrightarrow\ \Longleftrightarrow\ \longmapsto\ \hookrightarrow\ \rightharpoonup\\ &\rightharpoondown\ \leadsto\ \nearrow\ \searrow\ \swarrow\ \nwarrow \end{align*}

Símbolos

√ ⊼ ⊻ ⊙ ⊕ ⊗ ⊘ ⊚ ⊡ △▽ † ⋄ ⋆ ◃ ▹ ∠ ∞ ′ △\begin{align*} &\surd\ \barwedge\ \veebar\ \odot\ \oplus\ \otimes\ \oslash\ \circledcirc\ \boxdot\ \bigtriangleup\\ &\bigtriangledown\ \dagger\ \diamond\ \star\ \triangleleft\ \triangleright\ \angle\ \infty\ \prime\ \triangle \end{align*}

Ejemplos tomados de KaTeX Live Demo